|
Первый способ. Предположим противное. Пусть степень каждой вершины
графа не превышает 9. Возьмём любую вершину u. Из неё выходят не более 9 рёбер, а остальных вершин 20.
Значит, найдётся вершина v, не смежная с u. Количество вершин, смежных хотя
бы с одной из этих двух вершин, не более чем 9 + 9=18. А всего вершин 21.
Значит, найдётся вершина w, отличная от
вершину u и v и не смежная с ними (поскольку 21 > 2 + 18). В итоге
среди трёх вершин u, v и v нет смежных, что противоречит условию задачи.
Второй способ. Возьмём любую вершину v. Если её степень больше 9, то она искомая. Если нет, то
найдётся множество М из 11 вершин, с которыми вершина v не смежна.
Очевидно, в множестве М все вершины попарно
смежны (действительно, если вершины a и b из М не смежны, то среди трёх вершин v, a и b исходного графа нет смежных, что
противоречит условию). Значит, каждая вершина из М имеет степень как
минимум 10. Утверждение доказано.
Вступительный экзамен в Вечернюю математическую школу
при факультете ВМК МГУ имени М. В. Ломоносова
(27 сентября 2025 года)
10 класс
1. Может ли произведение двух соседних чётных чисел
равняться произведению двух последовательных натуральных чисел? Ответ обоснуйте.
Ответ: не может.
Решение. Пусть  Тогда,
прибавив 1 к обеим частям, получим  чего не может быть при
натуральных k,
поскольку  а число,
которое лежит между двух последовательных квадратов, не может быть
квадратом целого числа.
2.
Разложите на множители выражение 
Решение. Легко проверить, что 
Замечание. Искомое
разложение на множители можно получить либо группировкой, либо методом
неопределённых коэффициентов, либо с помощью теоремы о разложении
квадратного трёхчлена на множители (рассматривая данное выражение как
квадратный трёхчлен, например, относительно переменной y).
3.
Найдите наименьшее натуральное число, которое
делится (нацело) на 120 и десятичная запись которого состоит только из цифр
«2» и «0». Ответ обоснуйте.
Ответ: 22200.
Решение.
Обозначим искомое число через N. Поскольку 120 = 23×3×5, то N делится
на 8. Значит, число, которое образуют три последние цифры числа N, делится на 8. Но N состоит
только из цифр «2» и «0».
Стало быть, N оканчивается на 000 или на 200. При этом N будет обязательно делиться на 5, а чтобы оно
делилось на 3, количество двоек в записи числа должно быть кратно 3.
Наименьшее число, которое удовлетворяет всем этим условиям, равно
22200.
По техническим причинам публикация
вариантов экзамена от 27.09 задерживается.
Вступительный экзамен в Вечернюю математическую школу при факультете ВМК МГУ имени М. В. Ломоносова проходит, по
традиции, в последнюю субботу
сентября.
Ознакомиться с вариантом вступительного экзамена в ВМШ
прошлых лет (задачи и решения) можно
здесь: 2020
год 8-9 классы, 2020 год 10 класс.
|
|
